Question

過(guò)直線(xiàn)y=x上的一點(diǎn)作圓（x-5）²+（y-1）²=2的兩條切線(xiàn)l₁、l₂，當(dāng)直線(xiàn)l₁、l₂關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們之所成的銳角的大�。ā　。�

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：設(shè)l₁、l₂交點(diǎn)為P，圓心為Q，切點(diǎn)分別為A、B，則PQ⊥直線(xiàn)l：y=x，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可求點(diǎn)Q（5，1）到l的距離PQ，圓的半徑|QA|=

2

，在Rt△APQ中，由sin∠APQ=

|QA|

|PQ|

=

1

2

sin∠APQ=

AQ

PQ

可求∠APQ，然后由APB=2∠APQ可求

解答：解：設(shè)l₁、l₂交點(diǎn)為P，圓心為Q，切點(diǎn)分別為A、B，
根據(jù)兩條切線(xiàn)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，得到PQ⊥直線(xiàn)y=x，
∴由圓的方程得到圓心Q（5，1）到l：y=x的距離|PQ|=

|5-1|

2

=2

2

，半徑|QA|=

2

由切線(xiàn)的性質(zhì)可得，PA⊥AQ，PB⊥BQ
在Rt△APQ中，PQ=2

2

，AQ=

2

∴sin∠APQ=

|QA|

|PQ|

=

1

2

故∠APQ=30°，∠APB=2∠APQ=60°
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．