【題目】某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點(diǎn)D，E分別在邊，上）；再取的中點(diǎn)M，建造直道（如圖）.設(shè)，，（單位：百米）.

（1）分別求，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試確定點(diǎn)D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

【答案】（1），.，.

（2）當(dāng)百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值百米.

【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在和中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二：在中，可得，則有，化簡整理即得；同理，化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等式，計(jì)算即得.

解：（1），是邊長為3的等邊三角形，又，

，.

由，得.

法1：在中，由余弦定理，得

.

故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.

在和中，由余弦定理，得

①

②

因?yàn)?/span>M為的中點(diǎn)，所以.

由①②，得，

所以，所以.

所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

，.

法2：因?yàn)樵?/span>中，，

所以.

所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.

在中，因?yàn)?/span>M為的中點(diǎn)，所以.

所以.

所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.

（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為

（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.

故當(dāng)百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值百米.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓，離心率為，直線恒過的一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的頂點(diǎn)均在上，交于，且，若直線的傾斜角的余弦值為，求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn).

（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）直線交拋物線于，不同兩點(diǎn)，且，位于軸兩側(cè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別記作，．記的面積為，面積為，面積為，試問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

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【題目】某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動(dòng)，當(dāng)天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積極性，采用搖號抽獎(jiǎng)的方式，抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額（單位：千元）的頻率分布直方圖．

（1）求抽取的這家店鋪，元旦當(dāng)天銷售額的平均值；

（2）估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家；

（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究，求抽取的店鋪銷售額在和各一個(gè)的概率．

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【題目】新型冠狀病毒肺炎疫情爆發(fā)以來，疫情防控牽掛著所有人的心. 某市積極響應(yīng)上級部門的號召，通過沿街電子屏、微信公眾號等各種渠道對此戰(zhàn)“疫”進(jìn)行了持續(xù)、深入的懸窗，幫助全體市民深入了解新冠狀病毒，增強(qiáng)戰(zhàn)勝疫情的信心. 為了檢驗(yàn)大家對新冠狀病毒及防控知識的了解程度，該市推出了相關(guān)的知識問卷，隨機(jī)抽取了年齡在15~75歲之間的200人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制頻率分布直方圖如圖所示，把年齡落在區(qū)間和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”. 經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年人”和“中老年人”的人數(shù)比為19:21. 其中“青少年人”中有40人對防控的相關(guān)知識了解全面，“中老年人”中對防控的相關(guān)知識了解全面和不夠全面的人數(shù)之比是2:1.

（1）求圖中的值；

（2）現(xiàn)采取分層抽樣在和中隨機(jī)抽取8名市民，從8人中任選2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？

（3）根據(jù)已知條件，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果判斷：能夠有99.9%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相關(guān)知識？

了解全面

了解不全面

合計(jì)

青少年人

中老年人

合計(jì)

附表及公式：，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD是直角梯形，，，平面平面，，，，，的余弦值為，，F為BE中點(diǎn)，G為PD中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABCD；

（2）求平面BCE與平面ADE所成角(銳角)的余弦值．

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【題目】已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn)且與直線相切.

（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；

（2）斜率為的直線l經(jīng)過點(diǎn)且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)N，求的值.

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【題目】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的面積的最大值為.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，

（2）若，，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，，記直線AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.

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【題目】已知函數(shù)的最小正周期為4，其圖象關(guān)于直線對稱，給出下面四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)在區(qū)間上先增后減；②將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；③點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心；④函數(shù)在上的最大值為1．其中正確的是( )

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

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