Question

已知圓C的方程是：x²+y²=4，P是圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，M為PD的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若直線l與軌跡E交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，已知，若．試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)M（x，y），則P（x，2y），代入圓C的方程是：x²+y²=4，可得：x²+4y²=4
即點(diǎn)M的軌跡方程為…（5分）
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x₁=x₂，y₁=-y₂，則由可得x₁x₂+4y₁y₂=0
即，而，由上兩式可解得，，
此時(shí)為定值；…（8分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m
由消去y，并整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
則△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）=16（1+4k²-m²），
，（Ⅰ）…（10分）
由可得x₁x₂+4y₁y₂=0，即x₁x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）=0
所以，
將（Ⅰ）代入得：，化簡可得：1+4k²=2m²
由弦長公式可得
由點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)O到直線AB的距離為
所以△AOB的面積為定值
綜上知，△AOB的面積總為定值1．…（13分）
分析：（1）確定M，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用相關(guān)點(diǎn)法可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）分斜率存在與不存在，同時(shí)借助于韋達(dá)定理，利用向量垂直，分別表示三角形的面積，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．