已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},數(shù)學(xué)公式
(1)判斷g(x)與M的關(guān)系,并說明理由;
(2)M中的元素是否都是周期函數(shù),證明你的結(jié)論;
(3)M中的元素是否都是奇函數(shù),證明你的結(jié)論.

解:(1)∵
=∴g(x)∈M…(6分)
(2)因g(x)是周期為6的周期函數(shù),猜測(cè)f(x)也是周期為6的周期函數(shù)
由f(x)+f(x+2)=f(x+1),得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),
∴f(x)+f(x+2)+f(x+1)+f(x+3)=f(x+1)+f(x+2)
∴f(x)+f(x+3)=0,∴f(x+3)=-f(x),
∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x),得證f(x)是周期為6的周期函數(shù),
故M中的元素都是周期為6的周期函數(shù).…(12分)
(3)令,可證得h(x)+h(x+2)=h(x+1)…(16分)
∴h(x)∈M,但h(x)是偶函數(shù),不是奇函數(shù),
∴M中的元素不都是奇函數(shù).…(18分)
分析:(1)根據(jù)所給的函數(shù)的解析式,把函數(shù)代入f(x)+f(x+2)=f(x+1)進(jìn)行驗(yàn)證,得到三角函數(shù)符合集合的元素具有的條件,得到g(x)∈M.
(2)根據(jù)g(x)是周期為6的周期函數(shù),猜測(cè)f(x)也是周期為6的周期函數(shù),由f(x)+f(x+2)=f(x+1),得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),得到f(x+3)=-f(x),得證f(x)是周期為6的周期函數(shù).
(3)令,可證得h(x)+h(x+2)=h(x+1),h(x)∈M,但h(x)是偶函數(shù),不是奇函數(shù),得到結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,考查函數(shù)的周期性,本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于所給的抽象式的整理應(yīng)用,本題是一個(gè)中檔題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8、已知集合M={f(x)|f(-x)=f(x),x∈R};N={f(x)|f(-x)=-f(x),x∈R};P={f(x)|f(1-x)=f(1+x),x∈R};Q={f(x)|f(1-x)=-f(1+x),x∈R};若f(x)=(x-1)3,x∈R,則下列關(guān)系中正確的序列號(hào)為:

①f(x)∈M②f(x)∈N③f(x)∈P④f(x)∈Q

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已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y)},x,y∈R,有下列命題:
①若f1(x)=
1,x≥0
-1,x<0
則f1(x)∈M;
②若f2(x)=sinx,則f2(x)∈M;
③若f(x)∈M,y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
④若f(x)∈M,則對(duì)任意不等的實(shí)數(shù)x1、x2,總有
f1(x)-f2(x)
x1-x2
<0
;
⑤若f(x)∈M,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1、x2,總有f(
x1+x2
2
)≤
f1(x)+f2(x)
2

其中是正確的命題有
 
.(寫出所有正確命題的編號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南充三模)已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),x,y∈R},有下列命題
①若f1(x)=
1,x≥0
-1,x<0
則f1(x)∈M;
②若f2(x)=2x,則f2(x)∈M;
③若f3(x)∈M,則y=f3(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
④若f4(x)∈M則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù)x1,x2,總有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
<0成立.
其中所有正確命題的序號(hào)是
②③
②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合M={f(x)|在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立}.
(1)函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M?說明理由.
(2)證明:函數(shù)f(x)=2x+x2∈M.
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
2x+1
∈M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•上海模擬)已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sin
πx3

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