Question

（2011•天津模擬）如圖，橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b2

=1(a＞b＞0)與一等軸雙曲線相交，M是其中一個(gè)交點(diǎn)，并且雙曲線在左、右頂點(diǎn)分別是該橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是橢圓左、右頂點(diǎn)，△MF₁F₂的周長(zhǎng)為（4

2

+1），設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁•k₂=1；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知，確定雙曲線、橢圓離心率，根據(jù)△MF₁F₂的周長(zhǎng)，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)斜率公式求得k₁、k₂，利用點(diǎn)P在雙曲線上，即可證明結(jié)果；
（3）設(shè)直線AB、CD的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答：（1）解：由題意知，雙曲線的離心率為

2

，橢圓離心率為

c

a

=

2

2

，∴a=

2

c
∵2a+2c=4（

2

+1），∴a=2

2

，c=2，∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），
∵雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，
∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

4

=1．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁•k₂=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
又點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線上，∴y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=

y02

x02-4

=1．
（3）解：假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，則由（2）知k₁•k₂=1，
∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=

1

k

（x-2），
由方程組

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x2，y₂），則由韋達(dá)定理得，x₁+x₂=-

8k2

2k2+1

，x₁•x₂=

8k2-8

2k2+1

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得|CD|=

4 2 (1+k2)

2+k2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

∴存在常數(shù)λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．