已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA′
=
c
，則
（1）
AC′
•
DB′
=
 
；cos＜
AC′
，
DB′
＞=
 
；
（2）
BD′
•
AD
=
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：空間向量及應(yīng)用
分析：以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD′所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示出
AC′
、
DB′
、
BD′
與
AD
，再利用坐標進行計算．
解答： 解：（1）以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD′所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D′（0，0，1），C′（0，1，1），B′（1，1，1）；
∴
AB
=
a
=（0，1，0），
AD
=
b
=（-1，0，0），
AA′
=
c
=（0，0，1），
∴
AC′
=（-1，1，1），
DB′
=（1，1，1）；
∴
AC′
•
DB′
=-1×1+1×1+1×1=1；
cos＜
AC′
，
DB′
＞=
AC′
•
DB′
|
AC′
||
DB′
|
=
1
3
×
3
=
1
3
；
（2）∵
BD′
=（-1，-1，1），
AD
=（-1，0，0），
∴
BD′
•
AD
=-1×（-1）-1×0+1×0=1．
故答案為：1，
1
3
，1．
點評：本題考查了空間向量的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼�，是基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=-
1
2
+
3
2
i的共軛復(fù)數(shù)為
.
z
，則
.
z
+|z|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知扇形OAB的圓心角為
2π
3
，半徑為6cm，則扇形弧長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一船自西向東勻速航行，上午7點到達一座燈塔的南偏西75°且距燈塔80n mile的M處，若這只船的航行速度為10
6
 n mile，則到達這座燈塔東南方向的N處是上午（　　）
A、8點B、9點
C、10點D、11點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD所在的平面與圓O所在的平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在的平面，垂足E是圓O上異于CD的點，AE=3，圓O的直徑為9．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角D-BC-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x＞0，y＞0，x+y=1，則
1
y
+
2
x
有最小值
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=cos（ωx+
π
3
）的最小正周期為π，且f（β+
π
3
）=
7
9
，β∈（
π
2
，π）
（1）求cosβ的最小值；
（2）若sin（α+β）=
7
9
，且α∈（0，
π
2
），求sinα的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一個縱坐標為2的點到焦點的距離為3． 
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ） 設(shè)點P（0，2），過P作直線l1，l2分別交拋物線于點A，B和點M，N，直線l1，l2的斜率分別為k1和k2，且k1k2=-
3
4
．寫出線段AB的長|AB|關(guān)于k1的函數(shù)表達式，并求四邊形AMBN面積S的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+ax+2 在[-5，5]上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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同步練習冊答案