定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
;當(dāng)x∈(-1,0)時,有f(x)>0;若P=f(
1
5
) +f(
1
11
) +••+f(
1
r2+r-1
) +
…+f(
1
20092+2009-1
)
,Q=f(
1
2
),R=f(0);則P,Q,R的大小關(guān)系為( 。
A、R>Q>PB、P>R>Q
C、R>P>QD、不能確定
分析:函數(shù)f(x)滿足:f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
);當(dāng)x∈(-1,0)時,有f(x)>0;證明函數(shù)是奇函數(shù),以及它的單調(diào)性,根據(jù)f(
1
r2 +r-1
)=f(
1
r(r+1)-1
)=f(
1
r
-
1
r+1
1-
1
r
1
r+1
)=f(
1
r
)-f(
1
r+1
)對p進(jìn)行化簡,再根據(jù)單調(diào)性比較P,Q,R的大。
解答:解:∵函數(shù)f(x)滿足:f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
);當(dāng)x∈(-1,0)時,有f(x)>0;
∴f(x)在(-1,1)為奇函數(shù),單調(diào)減函數(shù),且在(-1,0)時,f(x)>0,在(0,1)時f(x)<0;∴R=f(0)=0,Q=f(
1
2
)<0<R,
∵f(
1
r2 +r-1
)=f(
1
r(r+1)-1
)=f(
1
r
-
1
r+1
1-
1
r
1
r+1
)=f(
1
r
)-f(
1
r+1
),
∴P=f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
r2+r-1
)+…+f(
1
20092+2009-1
),Q=f(
1
2
),
=[f(
1
2
)-f(
1
3
)]+[f(
1
3
)-f(
1
4
)]+…+[f(
1
2009
)-f(
1
2010
)]=f(
1
2
)-f(
1
2010

=Q-f(
1
2010
)>Q,
P=f(
1
2
)-f(
1
2010
)<0<R,
故選C.
點(diǎn)評:對于抽象函數(shù)的解決方法,通常采取賦值法,把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題加以解決,命題的立意新,特別是對P=f(
1
5
) +f(
1
11
) +••+f(
1
r2+r-1
) +
…+f(
1
20092+2009-1
)
轉(zhuǎn)化是難點(diǎn),屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f(
1
2
)=
2
5
,
①求函數(shù)f(x)的解析式;
②判斷函數(shù)f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性并用定義證明;
③解關(guān)于x的不等式f(log2x-1)+f(log2x)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=2x2-2x,求f(x)在(-1,1)上的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若m、n∈[-1,1],m+n≠0,>0.

(1)證明f(x)在[-1,1]上是增函數(shù);

(2)解不等式f(x+)<f().

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省青島市即墨一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數(shù),且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高一(上)段考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數(shù),且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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