Question

如圖，已知圓A過定點B（0，2），圓心A在拋物線C：x²=4y上運動，MN為圓A在x軸上所截得的弦．
（Ⅰ）證明：|MN|是定值；
（Ⅱ）討論拋物線C的準線l與圓A的位置關系；
（Ⅲ）設D是拋物線C的準線l上任意一點，過D向拋物線作兩條切線DS，DT（切點是S，T），判斷直線ST是否過定點，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A（x₀，y₀），根據拋物線的方程求得其橫坐標和縱坐標的關系，根據兩點間的距離表ishichu圓的半徑，進而表示出圓的方程，把y=0，和x₀²=4y₀代入，表示出x₁和x₂進而求得|MN|為定值．
（Ⅱ）先表示出圓心A到拋物線準線方程的距離，進而表示出d²-r²，根據y₀的范圍確定拋物線與圓的位置關系．
（Ⅲ）設出切點的坐標，對拋物線方程求導，求得切點處直線的斜率，表示出切線方程，把切點代入求得x₁x₂，進而根據S，T坐標表示出直線方程，把x₁x₂的值代入，進而根據直線的方程推斷出直線恒過定點（0，1）．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₀，y₀），則x₀²=4y₀，
則圓A的半徑r=|AB|=

x 2 0 +(y0-2)2

，
則圓A的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-2）²，
令y=0，并將x₀²=4y₀代入得x²-2x₀x+x₀²-4=0，
解得x₁=x₀-2，x₂=x₀+2，∴|MN|=|x₁-x₂|=4為定值．

（Ⅱ）圓心A到拋物線準線l：y=-1的距離為d=y₀+1，
則d²-r²=6y₀-3-x₀²=2y₀-3
所以，當0≤y0＜

3

2

時，d＜r，拋物線C的準線l與圓A相交；
當y0=

3

2

時，d=r，拋物線C的準線l與圓A相切；
當y0＞

3

2

時，d=r，拋物線C的準線l與圓A相離．

（Ⅲ）設切點為S(x1，

x 2 1

4

)，T(x2，

x 2 2

4

)，由y′=

1

2

xk，
則切線為y+1=

xk

2

(x-t)，
所以

x 2 k

4

=

1

2

xkt+1，(k=1，2)?消去t可得，x₁x₂=-4．
又kST=

x12-x22

4(x1-x2)

=

x1+x2

4

，
所以直線ST的方程是y-

x 2 1

4

=

x1+x2

4

(x-x1)，
即y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，
把x₁x₂=-4，代入得y=

x1+x2

4

x+1，
故直線ST是過定點F（0，1）．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了考生綜合運用基礎知識的能力．