Question

7．空間幾何體ABCDEF如圖所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD為梯形，ADEF為正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G為CE的中點．
（Ⅰ）求證：BG∥面ADEF；
（Ⅱ）求證：面DBG⊥面BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取ED中點H，連接HG、AH，只需證明AH∥BG即可；
（Ⅱ）取BD中點O，連接OF，OG、DG，易得∠FOG為二面角F-BD-G的平面角，解△OFG即可．

解答 證明：（ I）如圖1，取ED中點H，連接HG、AH，
因為G、H分別為EC、ED的中點，所以HG∥CD且$HG=\frac{1}{2}DC$
因為AB∥CD且$AB=2=\frac{1}{2}CD$
所以AB∥HG，且AB=HG．
所以AHGB為平行四邊形，所以AH∥BG；
因為BG?面PBC，AH?面PBC，所以BG∥面ADEF；

         圖1
（Ⅱ）如圖2，∵ABCD⊥面ADEF及ED⊥DC⇒ED⊥面ADCD⇒ED⊥DC．
取BD中點O，連接OF，OG、DG
∵AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，∴BF=DF=DB=2$\sqrt{2}$，⇒OF⊥BD，OF=$\sqrt{6}$，
∵BG=AH=$\sqrt{5}$，DG=$\frac{1}{2}$EC=$\sqrt{5}$，∴OG⊥BD，OG=$\sqrt{3}$
∴∠FOG為二面角F-BD-G的平面角；
在△OFG中，OF=$\sqrt{6}$，OG=$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=$\sqrt{E{F}^{2}+E{G}^{2}}=3$，
滿足OF²+OG²=FG²，∴∠FOG為直角，
∴面DBG⊥面BDF．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．