【題目】(不等式選講)

已知函數(shù)

(1)若,解不等式;

(2)若不等式在R上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)[2,+∞).(2){a|a≥2或a≤-4}.

【解析】試題分析:(1)分x<-1,-1≤x≤3,x>3三種情況去掉絕對(duì)值討論即可.

(2)由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)可得|x+a|+|x-1|≥|a+1|,只需|a+1|≥3,求解即可.

試題解析:(1)依題意,|x+1|+|x-3|≤2x.

當(dāng)x<-1時(shí),原不等式化為-1-x+3-x≤2x,解得x≥,故無(wú)解;

當(dāng)-1≤x≤3時(shí),原不等式化為x+1+3-x≤2x,解得x≥2,故2≤x≤3;

當(dāng)x>3時(shí),原不等式化為x+1+x-3≤2x,即-2≤0恒成立.

綜上所述,不等式f(x)+|x-3|≤2x的解集為[2,+∞).

(2)f(x)+|x-1|≥3|x+a|+|x-1|≥3恒成立,

由|x+a|+|x-1|≥|a+1|可知,只需|a+1|≥3即可,

故a≥2或a≤-4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥2或a≤-4}.

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