Question

(2007湖北，21)已知m，n為正整數(shù)．

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞－1時(shí)，；

(2)對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1，2，…，n；

(3)求出滿足等式的所有正整數(shù)n．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)m=1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)m=2時(shí)，左邊，右邊=1＋2x，因?yàn)?/FONT>，所以左邊≥右邊，原不等式成立； ②假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，不等式成立，即， 則當(dāng)m=k＋1時(shí)，∵x＞－1，∴1＋x＞0． 于是在不等式兩邊同乘以1＋x 得， 所以，即當(dāng)m=k＋1時(shí)，不等式也成立． 綜合①②知，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立． (2)當(dāng)n≥6，mn時(shí)，由(1)得， 于是，m=1，2，…，n． (3)由(2)知，當(dāng)n6時(shí)， ∴， 即．即當(dāng)n≥6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n． 故只需要計(jì)論n=1，2，3，4，5的情形： 當(dāng)n=1時(shí)，3≠4，等式不成立； 當(dāng)n=2時(shí)，，等式成立； 當(dāng)n=3時(shí)，，等式成立； 當(dāng)n=4時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)， 故，等式不成立； 當(dāng)n=5時(shí)，同n=4的情形可分析出，等式不成立． 綜上，所求的n只有n=2，3．