Question

已知：如圖α∥β，點(diǎn)S是平面α，β外的一點(diǎn)，直線SAB，SCD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和C，D．
（1）求證：AC∥BD；
（2）已知SA=4cm，AB=5cm，SC=3cm，求SD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面之間的位置關(guān)系,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）用反證法，假設(shè)AC與BD不平行，則AC與BD相交，從而得到平面α與平面β有公共點(diǎn)，與α∥β矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，由此證明AC∥BD．
（2）由AC∥BD，得△SAC∽△SBD，從而

SA

SB

=

SC

SD

，由此能求出SD．

解答： （1）證明：假設(shè)AC與BD不平行，
∵AC與BD共面于平面SBD，∴AC與BD相交，
∵AC?平面α，BD?平面β，
若AC與BD相交，則平面α與平面β有公共點(diǎn)，
與α∥β矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，
∴AC∥BD．
（2）解：由（1）知AC∥BD，
∴△SAC∽△SBD，
∴

SA

SB

=

SC

SD

，
∵SA=4cm，AB=5cm，SC=3cm，
∴

4

4+5

=

3

SD

，
解得SD=

3×(4+5)

4

=

27

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線平行的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意反證法的合理運(yùn)用．