Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃＞a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且 （n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求證：c_n+1≤c_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過求解一元二次方程求得a₃，a₅，則等差數(shù)列{a_n}的公差可求，直接由a_n=a_m+（n-m）d寫出通項(xiàng)公式；根據(jù)給出的數(shù)列{b_n}的遞推式，先取n=1求出b₁，取n=n-1得另一遞推式，兩式作差整理后可說明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且求出公比，則{b_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）把（1）中求出的數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_nb_n，再求出c_n+1，利用作差法即可求證不等式．
解答：（1）解：由x²-14x+45=0得：x₁=5，x₂=9．
∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，
∴a₃=5，a₅=9，則公差d=．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1，
由，當(dāng)n=1時(shí)，有，∴．
當(dāng)n≥2時(shí)，有，
∴3b_n=b_n-1，∵≠0，∴（n≥2）．
∴數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
∴．
（2）證明：由a_n=2n-1，，∴，．
則=．
∴c_n+1≤c_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了利用遞推式確定等比關(guān)系，訓(xùn)練了利用作差法證明不等式，作差法證明不等式的關(guān)鍵是判斷差式的符號(hào)，此題是中檔題．