Question

已知函數(shù)f（x）=，a∈R．
（I）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（4，f（4））處切線(xiàn)的斜率為12，求a的值；
（II）若x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

解：（I）f（x）的定義域?yàn)镽 …（1分）
∵f（x）=，∴f′（x）=3x²-3ax…（2分）
又∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處切線(xiàn)的斜率為12，
∴f'（3）=12
∴3×3²-9a=0…（5分）
∴a=3 …（6分）
（II）∵f′（x）=3x²-3ax
由 f′（x）=3x²-3ax=0得x₁=0，x₂=a …（7分）
當(dāng)a≤0時(shí)，在區(qū)間（0，1）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值是f（0）=a； …（9分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在區(qū)間（0，a）上f（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，0）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值是； …（11分）
當(dāng)a≥1時(shí)，在區(qū)間（0，1）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值是．
綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（0）=a；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是．…（14分）
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處切線(xiàn)的斜率為12，即f'（3）=12，從而可求a的值；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，可得x₁=0，x₂=a，結(jié)合x(chóng)∈[0，1]，分類(lèi)討論，即可求得函數(shù)f（x）的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類(lèi)是關(guān)鍵．