設(shè)函數(shù)y=f(x)=
2x
2x+
2
上兩點(diǎn)p1（x1，y1），p2（x2，y2），若
op
=
1
2
(
op1
+
op2
)，且P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（1）求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)，求Sn；
（3）記Tn為數(shù)列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n項(xiàng)和，若Tn＜a(Sn+2+
2
)對(duì)一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍．
分析：（1）利用向量知識(shí)，確定P為P1P2的中點(diǎn)，即可求得結(jié)論；
（2）利用倒序相加法，即可求得結(jié)論；
（3）裂項(xiàng)求和，再分離參數(shù)，利用基本不等式求最值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，∴P為P1P2的中點(diǎn)，∴x1+x2=1
∴y1+y2=
2x1
2x1+
2
+
2x2
2x2+
2
=1
∴P的縱坐標(biāo)為
1
2
；
（2）由（1）知，x1+x2=1，y1+y2=1，f（1）=2-
2

∵Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)，Sn=f(
n
n
)+f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)+f(
1
n
)
∴2Sn=(n-1)+2(2-
2
)=n+3-2
2

∴Sn=
n+3-2
2
2
；
（3）Sn+
2
=
n+3
2
，Sn+1+
2
=
n+4
2

∴
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
=
4
(n+3)(n+4)
=4（
1
n+3
-
1
n+4
）
∴Tn=4（
1
4
-
1
5
+
1
5
-
1
6
+…+
1
n+3
-
1
n+4
）=
n
n+4

∵Tn＜a(Sn+2+
2
)對(duì)一切n∈N*都成立
∴a＞
Tn
Sn+2+
2
=
2
n+
20
n
+9

設(shè)g（n）=n+
20
n
，則g（n）在[
20
，+∞）上是增函數(shù)，在（0，
20
）上是減函數(shù)
∴g（n）的最小值為9
∴
2
n+
20
n
+9
＜
1
9

∴a＞
1
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題
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設(shè)函數(shù)y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與直線y=-1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線y=x和直線x=1的垂線，垂足分別是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心Q；
（3）證明：線段PM，PN長(zhǎng)度的乘積PM•PN為定值；并用點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0表示四邊形QMPN的面積．．

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