Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2﹣16x+q+3：
（1）若函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12﹣t．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)f（x）=x2﹣16x+q+3的對稱軸是x=8

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減

∴要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點，須滿足f（﹣1）f（1）≤0．

即（1+16+q+3）（1﹣16+q+3）≤0

解得﹣20≤q≤12．

所以使函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點的實數(shù)q的取值范圍是[﹣20，12]

（2）解：當 時，即0≤t≤6時，f（x）的值域為：[f（8），f（t）]，

即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．

∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．

∴t2﹣15t+52=0，∴ ．

經(jīng)檢驗 不合題意，舍去．

當 時，即6≤t＜8時，f（x）的值域為：[f（8），f（10）]，

即[q﹣61，q﹣57]．

∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．

∴t=8

經(jīng)檢驗t=8不合題意，舍去．

當t≥8時，f（x）的值域為：[f（t），f（10）]，

即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]

∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t

∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．

經(jīng)檢驗t=8或t=9滿足題意，

所以存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12﹣t

【解析】（1）求出二次函數(shù)的對稱軸，得到函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上為單調(diào)函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點，則f（﹣1）f（1）≤0，由此可解q的取值范圍；（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三種情況進行討論，對于每一種情況，由區(qū)間長度是12﹣t求出t的值，驗證范圍后即可得到答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點，掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點即可以解答此題．