Question

12．已知拋物線E：y=2x²的焦點為F，E上有四點A，B，C，D滿足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$+$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{0}$，則|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|+|$\overrightarrow{FD}$|=（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程便可得出焦點坐標$F（0，\frac{1}{8}）$，準線方程為y=$-\frac{1}{8}$，可設(shè)A，B，C，D四點的縱坐標分別為y₁，y₂，y₃，y₄，從而由$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{0}$便可得到${y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}=\frac{1}{2}$，這樣根據(jù)拋物線的定義即可求出$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|+|\overrightarrow{FD}|$的值．

解答 解：由拋物線y=2x²得，F(xiàn)（$0，\frac{1}{8}$），準線方程為y=-$\frac{1}{8}$；
設(shè)A，B，C，D四點的縱坐標分別為y₁，y₂，y₃，y₄，則：
∵$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{0}$；
∴${y}_{1}-\frac{1}{8}+{y}_{2}-\frac{1}{8}+{y}_{3}-\frac{1}{8}+{y}_{4}-\frac{1}{8}=0$；
∴${y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}=\frac{1}{2}$；
∴$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|+|\overrightarrow{FD}|$=${y}_{1}+\frac{1}{8}+{y}_{2}+\frac{1}{8}+{y}_{3}+\frac{1}{8}+{y}_{4}+\frac{1}{8}=1$．
故選：D．

點評 考查拋物線的標準方程，由標準方程可以求出拋物線的焦點和準線方程，向量加法的坐標運算，以及拋物線的定義，根據(jù)拋物線定義將焦點到拋物線上的點的距離轉(zhuǎn)化為求焦點到準線的距離．