Question

已知不過原點的直線l 與y=x²交于A、B兩點，若使得以AB為直徑的圓過原點，則直線l必過點（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，0）
• C、（0，2）
• D、（1，0），（-1，0）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：令直線y=kx+b（b≠0）與拋物線方程y=x²聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合OA⊥OB即可求得b的值，從而可證直線l過定點．

解答： 解：令直線y=kx+b（b≠0）與拋物線y=x²相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點．
由y=kx+b，代入y=x²得：x²-kx-b=0
于是，x₁、x₂是此方程的兩實根，由韋達定理得：x₁+x₂=k，x₁x₂=-b
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=b²，
又OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0
∴b²-b=0，又b≠0，
∴b=1
故直線l：y=kx+1過定點C（0，1）．
故選：A．

點評：本題考查恒過定點的直線，考查韋達定理的應(yīng)用，求得b的值是關(guān)鍵，也是難點，屬于中檔題．