Question

已知不過(guò)原點(diǎn)的直線l 與y=x²交于A、B兩點(diǎn)，若使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則直線l必過(guò)點(diǎn)（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，0）
• C、（0，2）
• D、（1，0），（-1，0）

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：令直線y=kx+b（b≠0）與拋物線方程y=x²聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OA⊥OB即可求得b的值，從而可證直線l過(guò)定點(diǎn)．

解答： 解：令直線y=kx+b（b≠0）與拋物線y=x²相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
由y=kx+b，代入y=x²得：x²-kx-b=0
于是，x₁、x₂是此方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=k，x₁x₂=-b
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=b²，
又OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0
∴b²-b=0，又b≠0，
∴b=1
故直線l：y=kx+1過(guò)定點(diǎn)C（0，1）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒過(guò)定點(diǎn)的直線，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，求得b的值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．