Question

14．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，前n項和為S_n，且a₂=2，S₅=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式，通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{S}_{5}={5a}_{3}=15}\end{array}\right.$，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及S_n；
（Ⅱ）依題意，利用裂項法可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$），逐項累加，即可求得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{S}_{5}={5a}_{3}=15}\end{array}\right.$，
解得d=a₃-a₂=3-2=1，∴a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）=n；
S_n=$\frac{（1+n）n}{2}$；
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$）+…+（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+2）（n+1）}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，突出考查裂項法求和，屬于中檔題．