Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

．
（1）求證：A、B、C三點共線；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，

π

2

]，f（x）=

OA

•

OC

+（2m+

1

3

）|

AB

|+m²的最小值為5，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理證明

AC

∥

AB

即可；
（2）利用數(shù)量積運算和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵

AC

=

OC

-

OA

=

1

3

OA

+

2

3

OB

-

OA

=

2

3

(

OB

-

OA

)=

2

3

AB

∴

AC

∥

AB

，
又

AC

與

AB

有公共點A，故A、B、C三點共線．
（2）∵

OA

=(1，cosx)，

OB

=(1+sinx，cosx)，
∴

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

=(1+

2

3

sinx，cosx)，

AB

=

OB

-

OA

=(sinx，0)，
故 

OA

•

OC

=1+

2

3

sinx+cos2x，|

AB

|=

sin2x

=sinx，（x∈[0，

π

2

]）．
從而f(x)=

OA

•

OC

+(2m+

1

3

)|

AB

|+m2
=1+

2

3

sinx+cos2x+(2m+

1

3

)sinx+m2
=cos²x+（2m+1）sinx+1+m²
=-sin²x+（2m+1）sinx+2+m²
=-(sinx-

2m+1

2

)2+2m2+m+

9

4

，
關于sinx的二次函數(shù)的對稱軸為sinx=

2m+1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴sinx∈[0，1]，又區(qū)間[0，1]的中點為

1

2

．
①當

2m+1

2

≤

1

2

，即m≤0時，當sinx=1時，f(x)min=m2+2m+2．
由f（x）_min=5得m=-3或m=1，又m≤0，∴m=-3；
②當

2m+1

2

＞

1

2

，即m＞0時，當sinx=0時，f(x)min=2+m2，
由f（x）_min=5得m=±

3

，又m＞0，∴m=

3

．
綜上所述：m的值為-3或

3

．

點評：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．