Question

已知0＜α＜

π

2

，sin2α-cos²α-cosα+2sinα=0
（1）求tanα的值；
（2）若5sinβ=sin（2α+β），求tanβ的值．

Answer 1

分析：（1）由sin2α-cos²α-cosα+2sinα=2sinαcosα-cos²α+2sinα-cosα=0結(jié)合0＜α＜

π

2

可得2sinα-cosα=0，利用同角基本關(guān)系可求tanα
（2）由5sinβ=sin（2α+β）可得5sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，展開(kāi)整理可得2sin（α+β）cosα=3sinαcos（α+β），從而可得tan(α+β)=

3

2

tanα，而tanβ=tan[（α+β）-α]，利用兩角差的正切公式可求

解答：解：（1）∵sin2α-cos²α-cosα+2sinα
=2sinαcosα-cos²α+2sinα-cosα
=cosα（2sinα-cosα）+（2sinα-cosα）
=（2sinα-cosα）（cosα+1）=0
∵0＜α＜

π

2

∴cosα+1≠0
∴2sinα-cosα=0
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

（2）∵5sinβ=sin（2α+β）
∴5sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
∴5sin（α+β）cosα-5sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα+sinαcos（α+β）
∴2sin（α+β）cosα=3sinαcos（α+β）
∴tan(α+β)=

3

2

tanα=

3

2

×

1

2

=

3

4

∴tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

3 4 - 1 2

1+ 3 4 × 1 2

=

2

11

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，兩角和與差的正切公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用拆角的技巧：β=α+β-α，2α+β=α+β+α，從而把所求的角化統(tǒng)一．