Question

如圖，AB是圓O的直徑，AB=2，點C在圓O上，且∠ABC=60°，V到圓O所在的平面的距離為3，且VC垂直于圓O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點．
（1）求證：DE⊥平面VBC；
（2）求三棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得AC⊥BC，VC⊥AC，從而AC⊥平面VBC，由此能證明DE⊥平面VBC．
（2）由已知得S△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，V到圓O所在的平面的距離為3，由此能求出三棱錐V-ABC的體積．

解答： （1）證明：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵VC垂直于圓O所在的平面，∴VC⊥AC，
又BC∩VC=C，∴AC⊥平面VBC，
∵D，E分別是VA，VC的中點，∴DE∥AC，
∴DE⊥平面VBC．
（2）解：∵AB=2，點C在圓O上，且∠ABC=60°，
∴BC=1，AC=

3

，∴S△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∵V到圓O所在的平面的距離為3，
∴三棱錐V-ABC的體積V_V-ABC=

1

3

×3×

3

2

=

3

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．