Question

設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，記．

(Ⅰ)求函數(shù)y＝f(x)－g₂(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)求證：(ⅰ)當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)gf(x)≥g₂(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立；

(Ⅲ)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x₀，使得g_x(x₀)≥g_t(x₀)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：． 　　由，得 　　． 　　因?yàn)楫?dāng)時(shí)，， 　　當(dāng)時(shí)，， 　　當(dāng)時(shí)，， 　　故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，， 　　單調(diào)遞減區(qū)間是． 　　(Ⅱ)證明：(i)方法一： 　　令，則 　　， 　　當(dāng)時(shí)，由，得， 　　當(dāng)時(shí)，， 　　所以在內(nèi)的最小值是． 　　故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 　　方法二： 　　對(duì)任意固定的，令，則 　　， 　　由，得． 　　當(dāng)時(shí)，． 　　當(dāng)時(shí)，， 　　所以當(dāng)時(shí)，取得最大值． 　　因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 　　(Ⅲ)方法一： 　　． 　　由(i)得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 　　即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 　　下面證明的唯一性： 　　當(dāng)，，時(shí)， 　　，， 　　由(i)得，， 　　再取，得， 　　所以， 　　即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立． 　　故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)， 　　使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立． 　　方法二：對(duì)任意，， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0656/0022/8d17f83286aa3a1e924a761248ef2bde/C/Image287.gif" width=44 HEIGHT=24>關(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是： 　　， 　　即，① 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0656/0022/8d17f83286aa3a1e924a761248ef2bde/C/Image293.gif" width=42 height=24>，不等式①成立的充分必要條件是， 　　所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)， 　　使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．