Question

如圖，點(diǎn)A為圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，ADE是圓的割線，連接CD，BD，BE，CE．
（1）求證：BE•CD=BD•CE；
（2）延長CD交AB于F，若CE∥AB，證明：F為線段AB的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）證明△ADC∽△ACE，可得

CD

CE

=

AC

AE

，同理，

BD

BE

=

AB

AE

，利用AB=AC，即可得出結(jié)論；
（2）由切割線定理，得FB²=FD•FC，證明△AFD∽△CFA，可得AF²=FD•FC，即可證明F為線段AB的中點(diǎn)．

解答： （1）證明：由題意可知∠ACD=∠AEC，∠CAD=∠EAC
∴△ADC∽△ACE，∴

CD

CE

=

AC

AE

，
同理，

BD

BE

=

AB

AE

，
又∵AB=AC，
∴

CD

CE

=

BD

BE

，∴BE•CD=BD•CE        …（5分）
（2）解：如圖，由切割線定理，得FB²=FD•FC，
∵CE∥AB，
∴∠FAD=∠AEC，
又∵AB切圓于B，∴∠ACD=∠AEC，∴∠FAD=∠FCA，
∴△AFD∽△CFA，∴

AE

CF

=

FD

AF

，即AF²=FD•FC，
∴FB²=AF²，即FB=FA，∴F為線段AB的中點(diǎn)．                  …（10分）

點(diǎn)評：本題考查三角形相似的判斷與運(yùn)用，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．