Question

圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（Ⅰ）求四棱錐B-CEPD的體積；
（Ⅱ）求證：BE∥平面PDA．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)面面垂直的判定定理，得平面PDCE⊥平面ABCD．結(jié)合BC⊥CD，得BC⊥平面PDCE，所以BC是四棱錐B-CEPD的高，計算出梯形PDCE的面積，再結(jié)合錐體體積公式，可得四棱錐B-CEPD的體積；
（II）利用線面平行的判定定理，證出EC∥平面PDA且BC∥平面平面PDA，從而得到平面BEC∥平面PDA，結(jié)合BE⊆平面EBC，得BE∥平面PDA．

解答：解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，PD⊆平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE                         …（6分）
∵S_梯形PDCE=

1

2

（PD+EC）×DC=

1

2

×3×2=3
∴四棱錐B-CEPD的體積為V_B-CEPD=

1

3

S_梯形PDCE×BC=

1

3

×3×2=2．…（8分）
（Ⅱ）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，同理可得：BC∥平面平面PDA，
∵EC⊆平面EBC，BC⊆平面EBC，且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA
又∵BE⊆平面EBC，
∴BE∥平面PDA                       …（12分）

點評：本題給出四棱錐與三棱錐組合成一個幾何體，求錐體體積并證明線面平行，著重考查了面面垂直的判定與性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．