Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過(guò)C（-1，0）點(diǎn)且斜率為1的直線1與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{CQ}$，
（I）求該橢圓方程；
（Ⅱ）若直線m過(guò)點(diǎn)（1，0）且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．求△ABC內(nèi)切圓半徑的最大值．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線m過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，利用橢圓的定義得出△ABC的周長(zhǎng)是4a，而根據(jù)平面幾何知識(shí)知：△ABC的面積是周長(zhǎng)的一半乘以內(nèi)切圓半徑，結(jié)合圖形即可得出何時(shí)△ABC面積最大即可．

解答 解：（I）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
直線l：y=x+1代入橢圓方程可得（b²+a²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=-$\frac{4}{3}$，x₂x₁=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2-2^{2}}{3}$，
由$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{CQ}$，可得-1-x₁=3（x₂+1），
解方程可得x₁=0，x₂=-$\frac{4}{3}$，b=1，
則a=$\sqrt{2}$，即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）橢圓的焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），
直線m過(guò)右焦點(diǎn)，C為左焦點(diǎn)，
由橢圓的定義可得△ABC的周長(zhǎng)是4a=4$\sqrt{2}$，
而△ABC的面積是周長(zhǎng)的一半乘以內(nèi)切圓半徑r，
即有面積為$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$r，
又當(dāng)直線m為x=1時(shí)，△ABC面積最大，且為$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，
即有△ABC內(nèi)切圓半徑的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查三角形的內(nèi)切圓半徑的最大值，注意運(yùn)用等積法，由橢圓的定義和面積公式，屬于中檔題．