Question

拋物線(xiàn)有光學(xué)性質(zhì): 由其焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)折射后，沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出，今有拋物線(xiàn)y²=2px(p＞0)  一光源在點(diǎn)M(,4)處，由其發(fā)出的光線(xiàn)沿平行于拋物線(xiàn)的軸的方向射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線(xiàn)的軸的方向射出，途中遇到直線(xiàn)l: 2x－4y－17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M(如下圖所示)

 (1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，證明：y₁·y₂=－p²；

(2)求拋物線(xiàn)的方程；

(3)試判斷在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)證明略， (2) y²=4x (3) 拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)(，－1)與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)PN對(duì)稱(chēng).

解析:

由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及題意知

光線(xiàn)PQ必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(，0)，

設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=k(x－)                           ①

由①式得x=y+,將其代入拋物線(xiàn)方程y²=2px中，整理，得y²－y－p²=0,由韋達(dá)定理，y₁y₂=－p²。

當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率角為90°時(shí)，將x=代入拋物線(xiàn)方程，得y=±p,同樣得到y₁·y₂=－p².

(2)解:因?yàn)楣饩�(xiàn)QN經(jīng)直線(xiàn)l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線(xiàn)MN與直線(xiàn)QN關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)M(，4)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(x′,y′)，則

解得

直線(xiàn)QN的方程為y=－1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₂=－1，

由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₁=4，且由(1)知:y₁·y₂=－p²,則4·(－1)=－p²,

得p=2,故所求拋物線(xiàn)方程為y²=4x。 

(3)解: 將y=4代入y²=4x,得x=4，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)

將y=－1代入直線(xiàn)l的方程為2x－4y－17=0,得x=,

故N點(diǎn)坐標(biāo)為(，－1)

由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線(xiàn)PN的方程為2x+y－12=0,

設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)NP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₁(x₁,y₁)

又M₁(,－1)的坐標(biāo)是拋物線(xiàn)方程y²=4x的解，故拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)(，－1)與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)PN對(duì)稱(chēng).