Question

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).

（1）求的極值；

（2）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）極大值是，極小值是.（2）

【解析】試題分析：

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后列表考查函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此可得f(x)的極大值是f(－)＝＋a，極小值是f(1)＝a－1.

(2)由題意結(jié)合(1)中的極值的結(jié)論可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

試題解析：

(1)f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f(x)的極大值是f(－)＝＋a，

極小值是f(1)＝a－1.

(2)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足夠大的正數(shù)時(shí)，

有f(x)＞0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)＜0，

曲線y＝f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．

由(1)知f(x)極大值＝f(－)＝＋a，

f(x)極小值＝f(1)＝a－1.

∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，

∴f(x)極大值＜0或f(x)極小值＞0，

即＋a＜0或a－1＞0，

∴a＜－或a＞1，

∴當(dāng)a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時(shí)，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．