Question

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n，n＞1時(shí)，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0）恒成立．    
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），令b₁=1，且n≥2時(shí)，b_n=f（

1

bn-1

），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由于n＞1時(shí)，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0）恒成立，3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（t＞0）．兩式相減可得：

an+1

an

=

2t+3

3t

為不等式0的常數(shù)，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（II）由（I）可得f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+bn-1，可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（III）由于b_2n=

4n+1

3

，b_2n-1-b_2n+1=-

4

3

．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （I）證明：∵n＞1時(shí)，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0）恒成立，
∴3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（t＞0）．
∴3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，化為

an+1

an

=

2t+3

3t

為不等式0的常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（II）解：由（I）可得f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，
∴b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+bn-1，
∴b_n-b_n-1=

2

3

，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴b_n=1+

2

3

(n-1)=

2n+1

3

．
（III）∵b_2n=

4n+1

3

，b_2n-1-b_2n+1=-

4

3

．
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=-

4

3

(

5

3

+

9

3

+…+

4n+1

3

)=-

4

3

×

n( 5 3 + 4n+1 3 )

2

=-

8n2+12n

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．