Question

18．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A₁D，AC上，且EF⊥A₁D，EF⊥AC．求證：EF∥BD₁．

Answer 1

分析 連結(jié)A₁C₁，由已知條件推導(dǎo)出EF⊥平面A₁C₁D，BD₁⊥平面A₁C₁D，由此利用線面垂直的性質(zhì)能證明EF∥BD₁．

解答 證明：連結(jié)A₁C₁，由于AC∥A₁C₁，EF⊥AC，
∴EF⊥A₁C1，
又EF⊥A₁D，A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴EF⊥平面A₁C₁D，①
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，
又A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵BB₁∩B₁D₁=B₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
而BD₁?平面BB₁D₁D，
∴BD₁⊥A₁C₁，
同理，DC₁⊥BD₁，DC₁∩A₁C₁=C₁，
∴BD₁⊥平面A₁C₁D，②
由①②，得EF∥BD₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條直線平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．