Question

已知函數(shù)f（x）=

1 10 x+1，x≤1 lnx-1，x＞1

，若方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，求出a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x≤1時(shí)f（x）=

1

10

x+1，∴

1

10

x+1=ax，
∴a=

1

10

+

1

x

，
令g（x）=

1

10

+

1

x

，
∵x≤1 又g（x）在（-∞，0）和（0，1）上都是單調(diào)遞減的，
∴g（x）在x≤1上的值域是（-∞，0）∪（1.1，+∞）
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx-1=ax，得到a=

lnx-1

x

，
令h（x）=

lnx-1

x

，
∵x＞1，∴h′（x）=

2-lnx

x2

，
令h′（x）=0，得到2-lnx=0 得到x=e²，
∴h（x）在x屬于（1，e²）上單調(diào)增，在（e²，+∞）上單調(diào)減，
∴h（x）的最大值為h（e²）=

1

e2

，
∵當(dāng)x＜e時(shí)，lnx-1＜0，而x趨向正無(wú)窮時(shí)，h（x）趨向0，
∴h（x）的最小值為h（1）=-1（但是開(kāi)區(qū)間 因?yàn)閤＞1），
∴h（x）的值域是（-1，

1

e2

），
∵f（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴a屬于（-1，0）∪（

1

10

，

1

e2

），
故答案為：（-1，0）∪（

1

10

，

1

e2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，以及分類(lèi)討論的思想，以及函導(dǎo)數(shù)數(shù)與函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)行解答，是易錯(cuò)題．