Question

已知函數(shù)f（x）=

1 10 x+1，x≤1 lnx-1，x＞1

，若方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,分段函數(shù)的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，求出a的取值范圍．

解答： 解：當x≤1時f（x）=

1

10

x+1，∴

1

10

x+1=ax，
∴a=

1

10

+

1

x

，
令g（x）=

1

10

+

1

x

，
∵x≤1 又g（x）在（-∞，0）和（0，1）上都是單調遞減的，
∴g（x）在x≤1上的值域是（-∞，0）∪（1.1，+∞）
當x＞1時，f（x）=lnx-1=ax，得到a=

lnx-1

x

，
令h（x）=

lnx-1

x

，
∵x＞1，∴h′（x）=

2-lnx

x2

，
令h′（x）=0，得到2-lnx=0 得到x=e²，
∴h（x）在x屬于（1，e²）上單調增，在（e²，+∞）上單調減，
∴h（x）的最大值為h（e²）=

1

e2

，
∵當x＜e時，lnx-1＜0，而x趨向正無窮時，h（x）趨向0，
∴h（x）的最小值為h（1）=-1（但是開區(qū)間 因為x＞1），
∴h（x）的值域是（-1，

1

e2

），
∵f（x）=ax恰有兩個不同的實數(shù)根，
∴a屬于（-1，0）∪（

1

10

，

1

e2

），
故答案為：（-1，0）∪（

1

10

，

1

e2

）．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質的應用問題，以及分類討論的思想，以及函導數(shù)數(shù)與函數(shù)最值問題，進行解答，是易錯題．