Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A′與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為

2

，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx，由d=

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1，再由點(diǎn)A關(guān)于y=x對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

2

），能求出雙曲線C的方程．
（2）設(shè)直線ly=k（x-

2

）（0＜k＜1），依題意B點(diǎn)在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為

2

，設(shè)直線l′y=kx+m，應(yīng)有

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，由此能求出k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx，由d=

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1
即漸近線為y=±x，又點(diǎn)A關(guān)于y=x對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

2

）
∴a=

2

=b，所求雙曲線C的方程為y²-x²=2．
（2）設(shè)直線ly=k（x-

2

）（0＜k＜1），
依題意B點(diǎn)在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為

2

設(shè)直線l′y=kx+m，應(yīng)有

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，
化簡得m₂+2

2

km=2②
把l′代入雙曲線方程得（k₂-1）x₂+2mkx+m₂-2=0，
由△=4m₂k₂-4（k₂-1）（m₂-2）=0
可得m₂+2k₂=2③
②、③兩式相減得k=

2

m，代入③得m₂=

2

5

，解得m=

10

5

，k=

2 5

5

，
此時(shí)x=

-mk

k2-1

-2

2

，y=

10

，故B（2

2

，

10

）．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法和求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．