Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2tx+4t³+t²-3t+3，其中x∈R，t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達(dá)式；
（2）討論g（t）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，|g（t）|≤k恒成立，其中k為正數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）根據(jù)題意得f′（x）=2x-2t=0得x=t，當(dāng)x＜t時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x＞t時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為減函數(shù)．則f（x）的最小值g（t）=f（t）=4t³-3t+3；
（2）求出g′（t）=12t²-3=0解得t=±

1

2

，
當(dāng)-1≤t＜-

1

2

或

1

2

≤t≤1時(shí)，g′（t）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)-

1

2

≤t≤

1

2

時(shí)，g′（t）＜0，函數(shù)為減函數(shù)．所以函數(shù)的遞增區(qū)間為[-1，-

1

2

]與[

1

2

，1]，遞減區(qū)間為[-

1

2

，

1

2

）；
（3）由（2）知g（t）的遞增區(qū)間為[-1，-

1

2

]與[

1

2

，1]，遞減區(qū)間為[-

1

2

，

1

2

）；
又g（1）=4，g（-

1

2

）=4
∴函數(shù)g（t）的最大值為4，
則g（t）≤4．
∵當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，|g（t）|≤k恒成立，
∴k≥4