Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點，
（1）求證：平面AB₁D₁∥平面EFG；
（2）求證：平面AA₁C⊥面EFG．

Answer 1

分析：（1）連接BD、BC₁，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中利用對角面BB₁D₁D是平行四邊形得到B₁D₁∥BD，再利用三角形BCD的中位線得到EF∥BD，從而得到EF∥B₁D₁．結(jié)合
直線與平面平行的判定定理，得到EF∥平面AB₁D₁，同理可得EG∥平面AB₁D₁．最后用平面與平面平行的判定定理，可以證出平面AB₁D₁∥平面EFG；
（2）利用正方體的側(cè)棱垂直于底面，得到AA₁⊥平面ABCD，從而AA₁⊥EF，再利用正方形ABCD中，對角線AC、BD互相垂直且EF∥BD，得到AC⊥EF，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理，得到EF⊥平面AA₁C，最后用平面與平面垂直的判定定理，可得平面AA₁C⊥面EFG．

解答：解：（1）連接BD、BC₁
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，B₁D₁∥BD
又∵△BCD中，E、F分別是CB、CD的中點
∴EF∥BD⇒EF∥B₁D₁
又∵EF?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁
∴EF∥平面AB₁D₁，同理可得EG∥平面AB₁D₁
∵EF∩EG=E，EF、EG?平面EFG
∴平面AB₁D₁∥平面EFG
（2）∵AA₁⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴AA₁⊥EF
∵正方形ABCD中，AC⊥BD且EF∥BD
∴AC⊥EF
∵AA₁∩AC=A，AA₁、AC?平面AA₁C
∴EF⊥平面AA₁C
∵EF?面EFG
∴平面AA₁C⊥面EFG．

點評：本題以正方體中的平面與平面平行、平面與平面垂直為例，考查了平面與平面平行的判定定理和平面與平面垂直的判定定理，屬于中檔題．