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平面內與兩定點A1（-a，0），A2（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所在所面的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線．求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的位置關系．
分析：設出動點M的坐標，利用斜率乘積求出曲線軌跡方程，然后討論 m的值，判斷曲線是圓、橢圓或雙曲線時m的值的情況．
解答：解：設動點為M，其坐標（x，y）．
當x≠±a時，由條件可得k m 1•k m2=
y
x-a
•
y
x+a
=
y2
x2-a2
=m，
即mx2-y2=ma2（x≠±a）．又A1（-a，0），A2（a，0）的坐標滿足mx2-y2=ma2．
故依題意，曲線C的方程為mx2-y2=ma2．
當m＜-1時，曲線C的方程為
x2
a2
+
y2
-ma2
=1，C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時，曲線C的方程為x2+y2=a2，C是圓心在原點的圓；
當-1＜m＜0時，曲線C 的方程為
x2
a2
+
y2
-ma2
=1，C是焦點在x軸上的橢圓；
當m＞0時，曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
ma2
=1，C是焦點在x軸上的雙曲線．
點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，曲線與方程的關系的應用，圓錐曲線的判斷，考查分類討論思想的應用．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

平面內與兩定點A1（-a，0），A2（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C1；對給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C2，設F1、F2是C2的兩個焦點．試問：在C1上，是否存在點N，使得△F1NF2的面積S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

記平面內與兩定點A1（-2，0），A2（2，0）連線的斜率之積等于常數m（其中m＜0）的動點B的軌跡，加上A1，A2兩點所構成的曲線為C
（I）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的值的關系；
（Ⅱ）當m=-
3
4
時，過點F（1，0）且斜率為k（k#0）的直線l1交曲線C于M．N兩點，若弦MN的中點為P，過點P作直線l2交x軸于點Q，且滿足
MN
•
PQ
=0．試求
|
PQ
|
|
MN
|
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

平面內與兩定點A1（-a，0），A2（a，o）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1，A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線．那么當m滿足條件
m=-1
m=-1
時，曲線C是圓；當m滿足條件
m＞0
m＞0
 時，曲線C是雙曲線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

平面內與兩定點A1（-2，0），A2（2，0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1，A2兩點，所成的曲線C可以是圓，橢圓或雙曲線．
（I）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系．
（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C1；對給定的m∈（-∞，-1），對應的曲線為C2，若曲線C1的斜率為1的切線與曲線C2相交于A，B兩點，且
OA
•
OB
=2（O為坐標原點），求曲線C2的方程．

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