Question

若點(diǎn)P在拋物線y²=4x上，求點(diǎn)P到A（2，3）的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離之差的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形兩邊之差小于第三邊，求出點(diǎn)P到A（2，3）的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離之差的最大值，利用拋物線的定義，求出點(diǎn)P到A（2，3）的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離之差的最小值．

解答： 解：拋物線焦點(diǎn)為 F（1，0），|AF|=

(2-1)2+(3-0)2

=

10

，
根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊得|PA|-|PF|≤|AF|=

10

，
當(dāng) P 是射線 AF 與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最大，最大值為

10

；
設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線x=-1上的射影為Q，則由拋物線定義，|PQ|=|PF|，
因此|PA|-|PF|=|PA|-|PQ|≥-|AQ|=-3，
當(dāng)PA∥x軸時(shí)，所求值最小，最小為-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．