(1)橢圓C:+=1(a＞b＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,求證:AN·BM為定值b2-a2.

(2)由(1)類比可得如下真命題:雙曲線C:-=1(a＞0,b＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,求證:AN·BM為定值.請(qǐng)寫出這個(gè)定值(不要求給出解題過程).

(1)證明:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),x0≠±a.依題意,得A(-a,0),B(a,0),

∴直線PA的方程為y=(x+a).

令x=0,得ym=,4分同理得yn=,

∴ymyn=.∵點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓C上一點(diǎn),∴=1.∴y02=(a2-x02).

∴ymyn==b2.8分∵=(a,yn),=(-a,ym),∴·=-a2+ymyn=b2-a2.10分

(2)-(a2+b2).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，且傾斜角為60°的直線l過點(diǎn)(0，-2
3
)和橢圓C的右焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若已知D（3，0），點(diǎn)M，N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，且
DM
=λ
DN
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）如果兩個(gè)橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個(gè)橢圓相似．已知橢圓C與橢圓Γ：
x2
8
+
y2
4
=1相似，且橢圓C的一個(gè)短軸端點(diǎn)是拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且與橢圓E交于H，K兩點(diǎn)．若線段AB與線段HK的中點(diǎn)重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•通州區(qū)一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
1
2
，右焦點(diǎn)為F（1，0）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）求經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程；
（III）設(shè)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的動(dòng)圓內(nèi)切于一個(gè)定圓E．求定圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:=1與橢圓=1有相同的離心率，則橢圓C的方程可能是（　�。�

A.=m2（m≠0）

B.=1

C.=1

D.=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:=1與橢圓=1有相同的離心率，則橢圓C的方程可能是（　�。�

A.=m2（m≠0）

B.=1

C.=1

D.=1

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