Question

2．若x＞0，y＞0，且x+y＞2，
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}\right.$時(shí)，分別比較$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$與2的大小關(guān)系；
（2）依據(jù)（1）得出的結(jié)論，歸納提出一個(gè)滿足條件x、y都成立的命題并證明．

Answer 1

分析 （1）分別代入，計(jì)算，即可得出結(jié)論；
（2）利用反證法，證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，時(shí)，$\frac{1+y}{x}$=1+2=3＞2，$\frac{1+x}{y}$=$\frac{1+1}{2}$=1＜2；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$時(shí)，$\frac{1+y}{x}$=$\frac{1+3}{\frac{1}{2}}$=8＞2，$\frac{1+x}{y}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{3}$＜2；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}\right.$時(shí)，$\frac{1+y}{x}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$＜2，$\frac{1+x}{y}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$＜2
（2）命題：若x＞0，y＞0且x+y＞2，則$\frac{1+y}{x}$，$\frac{1+x}{y}$至少有一個(gè)小于2．
證明：假設(shè)$\frac{1+y}{x}$≥2，$\frac{1+x}{y}$≥2，
∵x＞0，y＞0，∴1+y≥2x，1+x≥2y．∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2．
這與已知x+y＞2矛盾． 假設(shè)不成立．∴$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$中至少有一個(gè)小于2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用反證法是關(guān)鍵．