Question

已知拋物線y²=4x的焦點為橢圓C的右焦點，且C的離心率e=

1

2

，直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，射線MO交C于點N．
（Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）試證在（I）的條件下，橢圓C在點N處的切線與AB平行．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可得橢圓的半焦距c=1，結合橢圓的離心率與橢圓中a、b與c的關系可得橢圓的方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），N（x₃，y₃），并且設橢圓在N出的切線斜率為K′，聯(lián)立直線與橢圓的方程結合根與系數(shù)的關系可得KAB=-

3x0

4y0

，因為由題意可得，N點在橢圓的下半部分，所以由

x2

4

+

y2

3

=1可得y=-

1

2

12-3x2

(y＜0)，利用導數(shù)求出在N點的切線的斜率k′=-

3x3

4y3

，由M、O、N三點共線，則有

x3

y3

=

x0

y0

，所以K_AB=K′，進而即可證明結論正確．

解答：解：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
因為拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
所以半焦距c=1．
又離心率e=

1

2

，
∴a=2，∴b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），N（x₃，y₃），并且設橢圓在N出的切線斜率為K′，
則

x2 4 + y2 3 =1       (1) x 2 2 4 + y 2 2 3 =1       (2)

，
(1)-(2)整理得：

x1+x2

4

+

y1+y2

3

•

y1-y2

x1-x2

=0，
即有KAB=-

3x0

4y0

(由已知得y0≠0)．
因為由題意可得，N點在橢圓的下半部分，
所以由

x2

4

+

y2

3

=1可得y=-

1

2

12-3x2

(y＜0)
所以y′=- 

1

2

-6x

12-3x2

=-

3x

4y

，
所以k′=-

3x3

4y3

，
又因為M、O、N三點共線，則有

x3

y3

=

x0

y0

，所以K_AB=K′，
即橢圓C在點N處的切線與AB平行．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓中相關數(shù)值的相互關系，以及當橢圓與直線相交時的弦中點問題，并且熟練掌握導數(shù)的幾何意義．