Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g（x）=-x²+2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≤g（x）+|x-1|；
（3）若函數(shù)h（x）=f（x）+λ•g（x）+1在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y）是函數(shù)f（x）圖象上任一點(diǎn)，則P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q（-x，-y）在函數(shù)g（x）的圖象上，由此求得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由條件可得 2x²-|x-1|≤0． 分當(dāng)x≥1時(shí)，當(dāng)x＜1時(shí)兩種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得不等式f（x）≤g（x）+|x-1|的解集．
（3）根據(jù)h（x）=（1-λ）x²+2（1+λ）x+1．①當(dāng)λ=1時(shí)，檢驗(yàn)符合題意．②當(dāng)λ≠1時(shí)，函數(shù)h（x）圖象的對(duì)稱軸是直線x=

λ+1

λ-1

，再分當(dāng)λ＜1時(shí)和當(dāng)λ＞1時(shí)兩種情況，分別依據(jù)條件求得λ的范圍，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）是函數(shù)f（x）圖象上任一點(diǎn)，則P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q（-x，-y）在函數(shù)g（x）的圖象上，
所以-y=-（-x）²+2（-x），故y=x²+2x，
所以，函數(shù)f（x）的解析式是f（x）=x²+2x．
（2）由f（x）≤g（x）+|x-1|，得x²+2x≤-x²+2x+|x-1|，即2x²-|x-1|≤0．  
當(dāng)x≥1時(shí)，有2x²-x+1≤0，△=1-8=-7＜0，不等式無解．
當(dāng)x＜1時(shí)，有2x²+x-1≤0，（2x-1）（x+1）≤0，解得-1≤x≤

1

2

，
綜上，不等式f（x）≤g（x）+|x-1|的解集為[-1 ， 

1

2

]．  
（3）h（x）=x²+2x+λ（-x²+2x）+1=（1-λ）x²+2（1+λ）x+1．
①當(dāng)λ=1時(shí)，h（x）=4x+1在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，符合題意．
②當(dāng)λ≠1時(shí)，函數(shù)h（x）圖象的對(duì)稱軸是直線x=

λ+1

λ-1

． 
因?yàn)閔（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
所以，1）當(dāng)λ＜1時(shí)，1-λ＞0，函數(shù)h（x）圖象開口向上，
故

λ+1

λ-1

≤-1，解得0≤λ＜1．
2）當(dāng)λ＞1時(shí)，1-λ＜0，函數(shù)h（x）圖象開口向下，
故

λ+1

λ-1

≥1，解得λ＞1．
綜上，λ的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性求函數(shù)的解析式，絕對(duì)值不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．