Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，且，，，點(diǎn)G，H分別為邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接,相交于點(diǎn)O.由垂直平分線性質(zhì)可得,由中位線定理可得,從而.再由平面,可得,所以平面,即可得.

（2）根據(jù),,,可求得和,進(jìn)而求得,由相似比與面積比關(guān)系求得,即可由等體積法求得.因而當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)取得最大值.由線段關(guān)系求得,再根據(jù)等體積,即可求得點(diǎn)D到平面的距離.

（1）證明：連接,相交于點(diǎn)O.如下圖所示:

平面.平面,

.

又,,

為線段的垂直平分線.

.

∵G,H分別為,的中點(diǎn),

,

,

又,,平面,

平面.

又平面,

.

（2）由（1）得,,.

,在中,,,

.

在中,.

的面積

,

∵G,H分別為,中點(diǎn),

.

平面.即平面.

.

顯然,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí),取得最大值,此時(shí).

連接,不難得出.

,.

又易知,

.

∵G是中點(diǎn),

∴C到平面的距離等于D到平面的距離.

又,

,得.

∴點(diǎn)D到平面的距離為.