Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱BB₁與底面ABC所成角為

π

3

，且側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）證明：點(diǎn)B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點(diǎn)；
（2）求二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）求點(diǎn)A₁到平面CB₁A的距離．

Answer 1

分析：（1）過(guò)B₁點(diǎn)作B₁O⊥BA，由面面垂直的性質(zhì)，可得A₁O⊥面ABC，即O為點(diǎn)B₁在平面ABC上的射影，進(jìn)而∠B₁BA是側(cè)棱BB₁與底面ABC的夾角，由已知中側(cè)棱BB₁與底面ABC所成角為

π

3

，解Rt△BOB₁，易得O是AB的中點(diǎn)．
（2）連接AB₁，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB₁，連接CM，OC，可證得∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角，解Rt△OMC，即可求出二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）方法一：過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CM，可證得ON⊥面ACB₁，即ON的長(zhǎng)度是O點(diǎn)到平面ACB₁DE距離，連接BA₁與B₁A交于H，則H是BA₁的中點(diǎn)，即B與A₁到平面ACB₁的距離相等，結(jié)合（1）的結(jié)論，求出B到平面ACB₁的距離，即可得到答案．
（3）方法二：根據(jù)VA1-ACB1=VC-AB1A1，分別求出三棱錐的體積和三角形ACB₁的面積，即可得到答案．

解答：證明：（1）過(guò)B₁點(diǎn)作B₁O⊥BA．
∵側(cè)面ABB₁A⊥底面ABC，∴A₁O⊥面ABC
∴∠B₁BA是側(cè)棱BB₁與底面ABC的夾角；
∴∠B₁BO=60°；在Rt△BOB₁中，BB₁=2，∴BO=

1

2

BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴OB=

1

2

AB，∴O是AB的中點(diǎn)
即點(diǎn)B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點(diǎn)；
解：（2）連接AB₁，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB₁，連接CM，OC
∵OC⊥AB，平面ABC⊥面AA₁BB₁，
∴OM⊥AB₁
∴AB₁⊥CM，∴∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角；
在Rt△OCM中，OC=

3

，OM=

3

2

，∴tan∠OMC=2
∴二面角C-AB₁-B的正切值為2；
（3）方法一：
過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON；
∴ON⊥面ACB₁，∴ON的長(zhǎng)度是O點(diǎn)到平面ACB₁DE距離；
在Rt△OMC中，OC=

3

，OM=

3

2

，∴CM=

15

2

∴ON=

OM•OC

CM

=

15

5

連接BA₁與B₁A交于H，則H是BA₁的中點(diǎn)；
∴B與A₁到平面ACB₁的距離相等；
又∵O是AB的中點(diǎn)，∴B到平面AB₁C的距離是O到平面AB₁C距離的2倍；
故A₁到平面AB₁C的距離為

2 15

5

方法二：（體積法）
VA1-ACB1=VC-AB1A1?S△△ACB1•h=S△AB1A1•OC
又在△ACB₁中，AC=AB₁=2，B₁C=

6

?S△ACB1=

1

2

6

•

22-( 6 2 )2

=

15

2

∴

15

2

•h=

3

4

×22×

3

?h=

2 15

5

，
∴A₁到平面AB₁C的距離為

15

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，其中熟練掌握棱柱的結(jié)構(gòu)特征，及線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，熟練掌握二面角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．