Question

設(shè)a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)滿足f(-

π

3

)=f(0)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[

π

4

，

17π

24

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）通過二倍角的余弦函數(shù)以及誘導公式化簡函數(shù)的表達式，通過f(-

π

3

)=f(0)求出a，然后利用兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求解函數(shù)f（x）的最小正周期，通過正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用x∈[

π

4

，

17π

24

]，求出函數(shù)的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值，直接求f（x）的最大值和最小值．

解答：（本小題13分）
解：（1）f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)
=

a

2

sin2x-cos2x+sin2x
=

a

2

sin2x-cos2x
由f(-

π

3

)=f(0)
可得

a

2

sin(-

2π

3

)-cos(-

2π

3

)=

a

2

sin0-cos0
⇒-

3 a

4

-(-

1

2

)=-1
⇒a=2

3

，
f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
∴T=π，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

⇒kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．
（2）由于x∈[

π

4

，

17π

24

]，所以

π

2

-

π

6

≤2x-

π

6

≤

17π

12

-

π

6

即

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

4

，
∴-

2

≤2sin(2x-

π

6

)≤2，
∴f（x）的最大值為2，最小值為-

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角的余弦函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的最值的求法單調(diào)區(qū)間的求法，考查計算能力．