Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）．
（1）設(shè)x₁是f（x）的一個極大值點，x₂上g（x）的一個極小值點，求|x₁-x₂|的最小值；
（2）若f′（α）=g′（α），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)x₁是f（x）的一個極大值點，x₂上g（x）的一個極小值點，推出x₁、x₂的關(guān)系，得到|x₁-x₂|的表達(dá)式，然后求出最小值；
（2）求出函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）的導(dǎo)函數(shù)，利用f′（α）=g′（α），求出2α+φ的值，再求的表達(dá)式，代入2α+φ值，即可解得所求表達(dá)式的值．
解答：解：（1）由題意，得2x₁+φ=2k₁π+，2x₂+φ=2k₂π+π，k₁∈Z，k₂∈Z（2分）
于是|x₁-x₂|=|（k₁-k₂）π-，當(dāng)k₁=k₂時等號成立．（4分）
所以|x₁-x₂|的最小值為．（6分）
（2）因為f′（x）=2cos（2x+φ），g′（x）=-2sin（2x+φ），（8分）
由f′（α）=g′（α），得cos（2α+φ）=-sin（2α+φ），即tan（2α+φ）=-1，
所以2α+φ=kπ-，（k∈Z），（10分）
所以=（12分）
當(dāng)k為偶數(shù)時，；當(dāng)k為奇數(shù)時，．（14分）
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力，分類討論思想．