Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|）
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）定義在[p，q]上的一個(gè)函數(shù)m（x），用分法T：p=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=q將區(qū)間[p，q]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間，如果存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得和式

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，則稱函數(shù)m（x）為在[p，q]上的有界變差函數(shù)，試判斷函數(shù)f（x）是否為在[1，3]上的有界變差函數(shù)？若是，求M的最小值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考公式：

n

i=1

f(x)=f(x1)+f(x2)+…+f（x_n））

Answer 1

分析：（I）由已知中g(shù)（x）在區(qū)間[2，3]的最大值為4，最小值為1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值，我們易構(gòu)造出關(guān)于a，b的方程組，解得a，b的值；
（Ⅱ）由（1）參數(shù)a，b的值，代入可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離Y軸距離遠(yuǎn)的問(wèn)題，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于k的方程求出K值．
（III）根據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間[1，3]進(jìn)行劃分，進(jìn)而判斷

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M是否恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b，因?yàn)閍＞0，
所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，
又∵函數(shù)g（x）故在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，

g(2)=1 g(3)=4

，
解得

a=1 b=0

；…（5分）
（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x²-2|x|+1為偶函數(shù)，
所以不等式f（log₂k）＞f（2）可化為|log₂k|＞2，…（8分）
解得k＞4或0＜k＜

1

4

；…（10分）
（Ⅲ）函數(shù)f（x）為[1，3]上的有界變差函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為[1，3]上的單調(diào)遞增函數(shù)，
且對(duì)任意劃分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=3
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜…＜f（x_I）＜…＜f（x_n）=f（3）
所以

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）＜…＜f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x₀）=f（3）-f（1）=4恒成立，
所以存在常數(shù)M，使得

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立．
M的最小值為4…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，新定義，其中（1）的關(guān)鍵是分析出函數(shù)的單調(diào)性，（2）要用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值比較大小（3）的關(guān)鍵是真正理解新定義的含義．