Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)x∈[0，a]，a＞0時(shí)，設(shè)f（x）的最大值是h（a），求h（a）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，列表寫出增區(qū)間、減區(qū)間、極小值、極大值，最后加以小結(jié)，注意兩個(gè)減區(qū)間之間應(yīng)隔開；
（2）對(duì)a討論，分0＜a≤1，a＞1兩類，根據(jù)（1）的單調(diào)區(qū)間，分別求出函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值，最后用分段函數(shù)形式寫出h（a）即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

∴f（x）的遞減區(qū)間是：（-∞，-1），（1，+∞），遞增區(qū)間是（-1，1），
f（x）_極小值=f（-1）=-2，f（x）_極大值=f（1）=2；
（2）由（1）知，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在[0，a]上遞增，
此時(shí)f（x）_max=f（a）=-a³+3a，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，a）上遞減，
即當(dāng)x∈[0，a]時(shí)f（x）_max=f（1）=2．
綜上有h（a）=

3a-a3，0＜a≤1 2，a＞1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，必須掌握數(shù)學(xué)中的這一重要思想方法在解決復(fù)雜問(wèn)題中的應(yīng)用，準(zhǔn)確分類是正確解題的關(guān)鍵．