如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BC=2，且M是BC的中點，點N在CC1上．
（1）試確定點N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當(dāng)AB1⊥MN時，求二面角M-AB1-N的大小．
（1）連接MA、B1M，過M作MN⊥B1M，且MN交CC1點N，
在正△ABC中，AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C=BC，
∴AM⊥平面BB1C1C，
∵MN?平面BB1C1C，
∴MN⊥AM．
∵AM∩B1M=M，
∴MN⊥平面AMB1，∴MN⊥AB1．
∵在Rt△B1BM與Rt△MCN中，
易知∠NMC=∠BB1M，
∴tan∠NMC=
NC
MC
，∴NC=tan∠BB1M=
1
2
，
即N為C1C四等分點（靠近點C）．
（2）過點M作ME⊥AB1，垂足為R，連接EN，
由（1）知MN⊥平面AMB1，
∴EN⊥AB1，
∴∠MEN為二面角M-AB1-N的平面角．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，BB1=BC=2，
∴AB1=2
2
，AM=
3
，B1M=
5
．
由AM⊥平面BC1，知AM⊥B1M．
在Rt△AMB1中，ME=
AM•B1M
AB1
=
3
×
5
2
2
=
30
4
，
又MN=
1+(
1
2
)2
=
5
2
，
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=
MN
ME
=
6
3
，
故二面角M-AB1-N的大小為arctan
6
3
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，面，且，,分別是的中點.
(1)求證：∥平面；
(2)過作一平面交棱于點，若二面角的大小為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為4，E為面A1D1DA的中心，
CF=3FC1，AH=3HD，
（1）求異面直線EB1與HF之間的距離
（2）求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，直線PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點，且點K是線段MN上的動點．
（Ⅰ）證明：直線QK∥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB=BC=8，且二面角Q-AK-M的平面角的余弦值為
3
9
，試求MK的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：正△ABC與Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）求二面角D-AB-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知A、B、C三點在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO-ABC為正三棱錐，若A、B兩點的球面距離為π，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中點．
（I）求證：A1B∥平面AEC1；
（II）若棱AA1上存在一點M，滿足B1M⊥C1E，求AM的長；
（Ⅲ）求平面AEC1與平面ABB1A1所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知軸對稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對稱軸，AD⊥CD，AD=AB=1，CD=BC=
3
，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如圖2）．
（1）證明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖中四個正方體圖形，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　)
A．①③B．①④C．②③D．②④

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同步練習(xí)冊答案