Question

（2012•海淀區(qū)二模）某同學為研究函數(shù)f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

(0≤x≤1)0＜x＜1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)的極值點是

1

2

，函數(shù)的值域是

[

5

，

2

+1]

．

Answer 1

分析：分別在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

．運動點P，可得A、P、B三點共線時，PA+PF取得最小值；當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值．由此即可推知函數(shù)的極值點及函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：Rt△PCF中，PF=

CP2

+CF2=

1+x2

同理可得，Rt△PAB中，PA=

1+(1-x)2

∴PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

．
從運動的觀點看，當點P從C點向點B運動的過程中，
在運動到BC的中點之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點之后又漸漸變大，
∵當點P在BC的中點上時，即A、B、P三點共線時，即P在矩形ADFE的對角線AF上時，
PA+PF取得最小值

AE2+EF2

=

5

，
當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值

2

+1．
∴

5

≤PA+PF≤

2

+1，可得函數(shù)的極值點是

1

2

；
函數(shù)f（x）=AP+PF的值域為[

5

，

2

+1]．
故答案為：

1

2

；[

5

，

2

+1]．

點評：本題以一個實際問題為例，求函數(shù)的值域，著重考查了勾股定理和函數(shù)的值域及其求法等知識點，屬于基礎(chǔ)題．