Question

求和：S_n=（x+

1

x

）²+（x²+

1

x2

）²+…+（xⁿ+

1

xn

）²．

Answer 1

分析：先討論當(dāng)x=±1時(shí)，通項(xiàng)為常數(shù)，求出其前n項(xiàng)的和；再求當(dāng)x≠±1時(shí)，將數(shù)列的通項(xiàng)展開，判斷出其是有三個(gè)特殊數(shù)列的和構(gòu)成，兩個(gè)等比數(shù)列一個(gè)等差數(shù)列；利用分組求和的方法，求出前n項(xiàng)和

解答：解：當(dāng)x=±1時(shí)，
∵（xⁿ+

1

xn

）²=4，∴S_n=4n，
當(dāng)x≠±1時(shí)，
∵a_n=x²ⁿ+2+

1

x2n

，
∴S_n=（x²+x⁴++x²ⁿ）+2n+（

1

x2

+

1

x4

++

1

x2n

）=

x2(x2n-1)

x2-1

+

x-2(1-x-2n)

1-x-2

+2n
=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n，
所以當(dāng)x=±1時(shí)，S_n=4n；
當(dāng)x≠±1時(shí)，S_n=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n．

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是判斷出數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的求和方法．