Question

已知遞增的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*，都有成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）若（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d（d＞0）…（1分）
∵a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，
∴…（2分）
由 （1+d）²=1×（1+3d）及d＞0，得d=1，…（3分）
∴a_n=n（n∈N^*）．…（4分）
（2）∵a_n+1=n+1，對n∈N^*都成立，
當(dāng)n=1時(shí)，，得c₁=4，…（5分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由，①
及，②
①-②得，得…（7分）
∴．…（8分）
∴…（10分）
（3）對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t…（11分）
∵，只需，…（12分）
即，即
即kt=nt+nk+n，取k=n+1，則t=n（n+2）…（14分）
∴對數(shù)列{b_n}中的任意一項(xiàng)，
都存在和，
使得．…（16分）
分析：（1）由{a_n}是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d（d＞0），由a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）由a_n+1=n+1，對n∈N^*都成立，能推導(dǎo)出，由此能求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t，由，只需，由此能夠證明數(shù)列{b_n}中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，綜合性強(qiáng)，對數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．